布尔代数法律和定理

布尔代数是数字电子产品中数字逻辑中使用的数学代数的一种形式。玻语包括陈述的象征性表示(通常是数学陈述)。同样,Boolean代数中存在表达式,方程和函数。

任何逻辑设计的主要目标是尽可能简化逻辑,以便最终实现将变得容易。为了简化逻辑,必须简化布尔方程和表示逻辑的表达式。

因此,为了简化布尔方程和表达,提出了一些法律和定理。使用这些法律和定理,它变得非常容易简化或降低任何布尔表达式或功能的逻辑复杂性。

本文展示了一些最常用的法律和定理是布尔代数。

基本法律及证明

布尔代数系统的基本规律被称为“布尔代数定律”。布尔代数的一些基本定律(规则)是

我结合律。

II。分配法

3交换律

IV。吸收法

v。共识法

结合律

副总法

陈述:

添加的联合法则,或者超过两个变量,即在变量上执行的数学加法操作,无论在等式中是否分组变量都会返回相同的值。
它涉及在组中交换变量。

使用OR算子的结合律可以写成

a +(b + c)=(a + b)+ c

证明:

如果a,b和c是三个变量,则每个集合中的3个变量的分组为3种变量为3种类型,例如(a + b),(b + c)和(c + a)。

据联想法

(a + b + c)=(a + b)+ c = a +(b + c)= b +(c + a)

我们知道,A + AB = A(根据吸收定律)

现在让我们假设,x = a +(b + c)和y =(a + b)+ c

根据联想法,我们需要证明X = y。

现在,找到AX = A [A +(B + C)]

= AA + A(B + C)

= A + AB + AC→since AA = A

(a + ab) + ac

= a + ac→由于a + ab = a

= a→由于a + ac = a

因此Ax = A

类似地,对于Bx = B [A +(B + C)]

= ab + b(b + c)

= AB + BB + BC

= AB + B + BC→since BB = B

=(b + bc)+ ab

= B + AB→since B + BC = B

= B→由于B + AB = B

利用上述方程,我们可以说,A、B、C与+算子的关系与其他变量如x相乘时不变,如xy = yx = x = y。

x = (A + B) + C) x

= (A + B) x + Cx

=(AX + BX)+ CX

=(a + b)+ c

= y xy =(a +(b + c))y

= ay +(b + c)y

= Ay + (By + Cy)

= A +(B + C)

= X.

所以x = y,也就是A + (B +C) = (A + B) +C = B + (A +C)

例子

然后取三个变量0,1和0,然后

根据联想法,

(0 + 1)+ 0 = 0 +(1 + 0)

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

因此,核实联盟法律。

因此,证明了联合法(A + B + C)=(A + B)+ C = A +(B + C)= B +(C + A)

乘法综合法

陈述:

乘法结合律是指ANDing两个以上的变量,即对变量进行数学乘法运算,无论方程中变量的分组如何,都将返回相同的值。

联合法使用和运营商可以写成

a *(b * c)=(a * b)* c

分配法

这是布尔代数中最常用和最重要的法则,涉及到两个运算符:and和OR。

语句1:

两个变量的乘法和用变量添加结果将导致相同的值作为与单个变量的添加变量的乘法相同。

换句话说,两个变量的和与另一个变量的和等于变量与两个单独变量的和与。

分配法可以写作

A + b = (A + b)(A + c)

这被称为或分发。

证明:

如果a,b和c是三个变量

a + bc = a * 1 + bc→由于a * 1 = a

A (1 + B)+ BC→since 1 + B = 1

= a * 1 + ab + BC

= a *(1 + c)+ ab + bc→由于a * a = a * 1 = a

= a *(a + c)+ b(a + c)

=(A + C)(A + B)

A + BC =(A + B)(A + C)

由此证明了分配律。

声明2:

添加两个变量并将结果与​​变量乘以将导致相同的值作为添加变量与单独变量的乘法。

换句话说,使用两个变量的两个变量和anding结果与两个单独的变量等于或变量的and。

分配法可以写作

A (b + c) = (A b) + (A c)

这被调用并分销超过或。

证明:

a(b + c)= a(b * 1)+ a(c * 1)→自1 * b = b,1 * c = c

= [(ab)*(a * 1)] + [(ac)*(a * 1)]

= [(ab)* a] + [(ac)* a]

=(a +1)(ab + ac)

=(ab + ac)→自1 + a = 1

由此证明了分配律。

例子:

然后取三个变量0,1和0,然后

根据分配法,

0 (1 + 0) = (0*1) + (0*0)

0(1)=(0)+(0)

0 = 0.

从而验证了分配律。

交换律

陈述:

交换律规定,在布尔方程式中的操作数量的变化阶段不会改变其结果。

  • 使用OR运算符→A + B = B + A
  • 使用AND运算符→A * B = B * A

本法也在布尔代数中更优先。

例子:

取2个变量1和0

1 + 0 = 0 + 1

1 = 1

相似地,

1 * 0 = 0 * 1

0 = 0.

吸收法

吸收法涉及链接一对二元操作。

一世。a + ab = a

II。a(a + b)= a

3+ĀB = A + B

iv. A.(Ā+B) = AB

第三和第四条法律也称为冗余法。

表述一:A + AB = A

证明:

a + ab = a.1 + ab→由于a.1 = a

= a(1 + b)→自1 + b = 1

= .

= A.

声明2:a(a + b)= a

证明:

a(a + b)= a.a + a.b

= a + ab→a ..A = A.

= a(1 + b)

= .

= A.

声明3:A + Āb = A + b

证明:

a +Âb=(a + b)(a + b)→由于A + BC =(A + B)(A + C)使用分配法

= 1 *(a + b)→由于a +Â= 1

= A + B.

声明4:A *(ā+ b)= ab

证明:a *(ā+ b)= a。ā+ ab

= AB→since A Ā = 0

布尔代数的二元原理

陈述:

对偶原理指出:“表达式的对偶可以通过将AND运算符替换为or运算符,以及将二进制变量替换为0,如将1替换为0,将0替换为1来实现”。
这条定律解释了替换变量并不会改变布尔函数的值。

但是在交换变量名的同时,也必须改变二进制操作符。如果一个方程或函数的运算符和变量虽然交换了,但对方程的输出不产生变化,则称为“对偶”。

二元原则也被称为“de morgan duality”,它指出“在布尔代数中的双重对的互换将导致等式的输出相同”。

桌子

在二元性中有一种特殊类型的操作,它是“自我双向”的自我双向操作将输入处理到输出,而不会对其进行任何更改。所以这也被称为“无所作为”。

例子:

如果我们有像+ B = 0这样的布尔方程,那么替换变量0的方程式与1替换为1并替换或运算符和运算符为a * b = 1.这意味着布尔函数都表示逻辑的操作电路。

根据对偶原理,如果A、B是两个变量,那么在同一个逻辑电路中,方程A + B = 0和A * B = 1都为真。

使用二元性简化布尔函数

用对偶性概念简化布尔函数的例子

(a + b'c)'= a'b c + a'b c'+ a'b'c'

= a ' b (c + c ') + (b + b ') a ' c '

= a ' b + a ' c '–––––––-> (1)

在两侧采取逆,方程变成

(a + b'c)=(a + b')(a + c) - - - - - - - - >(2)

如果我们观察等式1和2,我们可以观察到和操作者和或运营商互换。因此证明了二元定理。

基于二元原理,可以使用最大术语(SOP)和平均术语(POS)方法来简化布尔函数。

SOP方法意味着,产品总和。在此方法中,Boolean变量的最大术语被编写为它们的产品总和。

POS方法意味着总和的产品。在此方法中,Boolean变量的分钟项被写为其总和的产品。

我们将在后续教程中简要讨论这些主题。欧宝平台正规吗

de Morgan的定理

布尔代数涉及二进制添加,二进制减法,二进制划分和二进制数的二进制乘法。类似于这些基本法律,还有另一个重要的定理,其中布尔代数系统主要取决于。那是摩根的法律。

这也可以被称为de Morgan的定理。本法根据二元性的概念作用。二元性意味着在函数中互换运营商和变量,例如用0和操作符和运营商和操作员使用1和1的替换0,以及运算符和运算符。

de Morgan的法律就像延伸了二元原则。De Morgan提出了2个定理,这将有助于我们解决数字电子产品中的代数问题。

de Morgan的陈述是,

声明1:

“结合的否定是否定的分离”。或者我们可以将其定义为“2个变量的乘积的赞美等于单个变量的赞美的总和”。

(a . b) ' = a ' + b '

声明2:

“对分离的否定是否定的结合”。或者我们可以将其定义为“两个变量的总和的恭维等于每个变量的恭维的乘积”。

(a + b)'= a'.b'

真值表

通过使用真相表简单地解释了De Morgan的法律。

下面给出了De Morgan第一次语句的真相表((a.b)'='+ b')。

表2.

所以德摩根第一定律也可以表示为"非(A和B)等于(非A)或(非B) "

下面给出了De Morgan的第二个陈述的真相表((A + B)'= A'.B')。

表3

因此,De Morgan的第一条律也可以表示为“不是(a或b)等于(不是a)和(不是b)”。

Demorgan在盖茨的定理

德摩根定理可以用与门、或门等基本逻辑门来证明。

语句1:(A.B) ' = A ' + B '

ANAND门的输出(和在其输出侧的NOT栅极的栅极)等于通过在输入或栅极处连接两个没有栅极而形成的栅极的输出。这可以说,

nandgate =鼓泡或门

与非门相当于后跟OR门的逆门

表述二:(A + B) ' = A '。B”

NOR门的输出(或在其输出侧的NOT栅极的栅极)等于通过在和栅极的输入处连接两个不栅极而形成的栅极的输出。这可以说,

NOR GAND =鼓泡和门

也不等于反演和门的门

让我们看一些例子来了解De Morgan的定理如何简化布尔方程。

例1:

用德摩根定理简化下面的布尔方程。

f =(((a .b̅)̅)。(b + c))̅

溶胶:

假设F = ((A . b̅)̅)。(b̅+ c))̅

= ((a .b̅)̅)̅+ ((b̅+ c))̅

=(a .b̅)+(b̅̅.c̅)

=(a .b̅)+(B.C̅)

因此,给定方程的简化形式为F = (A .B̅)+ (B.C̅)

例2.

简化了设计不良的逻辑电路,并找到输出方程的简化布尔方程。

例子

溶胶:

在给定电路中,输出方程是

F2 =((a + c)。((ab)̅))̅

=((a̅+ c)̅)+(ab)̅̅

= (a̅+ c)̅)+ ab

=(a̅̅c̅)+ ab

= (ac̅)+ (ab)

因此,给定电路ISF2 =(AC̅)+(AB)的简化输出。

共识定理

共识定理是布尔代数的重要定理,解决和简化布尔函数。

声明

一致定理指出,当函数中的项互为倒数时(如a和a̅)定义析取的一致项。一致定理有两种表述(范式及其对偶)。他们是

ab +āc+ bc = ab +āc

(a + b)(Ā+ c)(b + c) = (a + b)(Ā+ c)

共识定理的证明

声明1:ab +āc+ bc = ab +āc

AB +āc+ BC = AB +āC+ BC.1

= ab +āc+ bc(a +Â)→由于a +Â= 1

= ab +āc+ abc +ābc

= AB(1 + C)+āc(1 + B)

= ab +Âc→自1 + b = 1 + c = 1

例子

通过使用共识定理,证明A'BD'+ BCD + ABC'+ AB'd = BC'D'+ AD + A'BC

溶胶:

A'BD'+ BCD + ABC'+ AB'D = A'BD'+ BCD + ABC'+ AB'D + A'BC + BC'D' + ABD

= AD + a ' bd ' + BCD + abc ' + a ' bc + bc ' '

=广告+ a'bc + bc'd'

双重共识定理

一致定理对偶的表述是

(A + B) (B + C) (' + C) = (A + B) (A + C)

证明

步骤1:缩小等式左边

(A + B)(B + C)(A'+ C)=((A + B)(B + C))(A'+ C)

=(AB + AC + BB + BC)(A'+ C)

= (ab + ac + b + bc) (a ' + c)

=(AB + AC +(B + BC))(A'+ C)

=(ab + ac + b)(a'+ c)

=(B + AB + AC)(A'+ C)

=((b + ab)+ ac)(a'+ c)

=(b + ac)(a'+ c)

= A'B + BC + AA'C + ACC

= a 'b + BC + 0 + ac

= A'B + BC + AC

第2步:减少等式的右侧

(A + B)(A'+ C)= AA'+ A'B + AC + BC

= 0 + A'B + AC + BC

= A'B + AC + BC

现在我们可以看到,r.h.s.= L.H.S.

因此,证明了共识定理的双重措施。

香农的扩张定理

著名的理论学家和数学家克劳德·香农在研究布尔代数函数的简化问题后提出了一些公式。这就是香农展开式定理。它们用于展开关于单个变量的布尔函数。

定理1:

F(A1,A2,A3,...。。。。AI,......。.An)= AI。f(a1,a2,a3,...。。。1,...... a)+a̅i。(A1,A2,A3,...。。。0,......)

例子:

f(a,b,c,d,e,f)= c。f(a,b,1,d,e,f)+ c̅。f(a,b,0,d,e,f)

定理2:

f(a1-,a2,a3,...。。。。。。。。。.An.na)= [ai + f(a1,a2,a3,...。。。。a)]。[a̅i+(a1,a2,a3,...。。。1,...... a)]

例子:

f (A, B, C, D, E, f) = (C + f (0 A、B、D、E、f)]。[C̅+ f (A, B, D, E, f))

利用香农展开定理简化布尔函数

练习1:

使用Shannon的扩展定理展开给定的布尔函数。

(A, B, C, D) = A B̅+ (A C + B) D

溶胶:给定函数是

f(a,b,c,d)= a b +(c + b)d

= a [1。B̅+(1.C + B)D] + A̅[0。B +(0.C + B)D]

= A [B +(C + B)D] + A̅[B D]

= A B + A(C + B)D + A̅Bd

练习2:

使用Shannon的扩展定理展开给定的布尔函数。

f(a,b,c,d)=a̅c+(b + ad)c

溶胶:

给定的函数

f(a,b,c,d)= a̅c +(b + ad)c

= a [1̅。C +(B + 1.D)C] + A [0‰。C +(b + 0.d)c]

= a [0。C +(B + D)C] + A [1。C +(b + 0.d)c]

= A(B + D)C + A̅(C + BC)

香农减少定理

Shannon的减少定理用于减少关于单个变量的布尔函数。

定理1:

ai。f(a1,a2,a3,...。。。。ai,...。。。,a)= ai。F(A1,A2,A3,...。。。。1,......,AN)

Ai+ f(A1, A2, A3, . . . .艾,. . . .= Ai+ f(A1, A2, A3, . . . .0, . . . .一个)

例子:

B。f (A, B, C, D, E, f) = B。(A, 1, C, D, E, f)

B + F(A,B,C,D,E,F)= B + F(A,0,C,D,E,F)

定理2:

(a_i)̅。f(a1,a2,a3,...。。。。ai,...。。。,a)=(a_i)̅。f(a1,a2,a3,...。。。0,...。。。,a)

(a_i)̅+ f(a1,a2,a3,...。。。。。。。。。。,a)=(a_i)̅+ f(a1,a2,a3,...。。。。。。。。。。。一个)

例子:

B̅。F(a,b,c,d,e,f)= b̅。f(a,0,c,d,e,f)

B̅+ f(a,b,c,d,e,f)= b + f(a,1,c,d,e,f)

使用Shannon减少定理简化布尔函数

练习1:

使用Shannon的还原定理扩展给定的布尔函数。

f(a,b,c,d)= a [a̅(b + c)+(a + d)]

溶胶:给定函数是

f(a,b,c,d)= a [a̅(b + c)+(a + d)]

=一个。[1 ' (b + c) + (1 + d)]

=一个。[0(b + c)+(1 + d)

=广告

练习2:

使用Shannon的还原定理扩展给定的布尔函数。

f (A, B, C, D) = A + A ' B + A ' (B + C) (B + D)

溶胶:给定函数是

f (A, B, C, D) = A + A ' B + A ' (B + C) (B + D)

= A + 0'B + 0 C'(B + C)(B + D)

= a + 1。B

= A + B.

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