布尔代数

什么是布尔代数

布尔代数是数字电子学中常用的代数的一个特殊分支。布尔代数是1854年由英国数学家乔治·布尔发明的。

布尔代数是数字电子设备中简化逻辑电路(或有时称为逻辑切换电路)的方法。

所以它也被称为“转换代数”。我们可以用数字来表示逻辑电路的功能,遵循一些规则,这些规则被称为“布尔代数定律”。

我们还可以通过以下定理更快地进行电路的计算和逻辑运算,这些定理甚至更快,这些定理称为“布尔代数的定理”。布尔函数是表示逻辑电路的输入和输出之间的关系的函数。

布尔逻辑只允许电路的两种状态,如真和假。这两个状态由1和0表示,其中1表示状态“True”,0表示状态“False”。

在布尔代数中需要记住的最重要的一点是,它与常规的数学代数及其方法非常不同。在学习布尔代数之前,让我们先了解一下布尔代数的历史及其发明和发展。

布尔代数的历史

如前所述,布尔代数是由英国数学家乔治·布尔在1854年发明的。他第一次提出布尔代数的概念是在他的书《对思维规律的调查》中。

在此之后,布尔代数是众所周知的代表数字逻辑电路的完美方法。

19世纪晚期,科学家杰文斯、施罗德和亨廷顿将这一概念用于现代化概念。1936年,m·h·斯通证明了布尔代数与集合是“同构的”(数学中的一个功能区)。

20世纪30年代,一位名叫克劳德·香农的科学家利用布尔代数的概念发展了一种新型代数方法“开关代数”来研究开关电路。

通过使用称为“二进制决策图”的布尔函数有效地表示现代电子自动化工具的逻辑合成。

布尔代数只允许逻辑电路的两种状态,即True和False、High和Low、Yes和No、Open和Close或0和1。

布尔表达式

这些类似于数学表达式。通过使用逻辑运算符组合逻辑变量来形成布尔表达式。例如

  • x + y
  • X + y + X z '
  • X + Y '

布尔代数的公设

有一些基本的法律和规则必须遵循布尔代数系统。他们被称为“布尔代数法则”。

属性为1和0

0 + x = x

1 + x = 1

0。x = 0.

1。X = X

身份律法

X + 0 = X

X。1 = X

Idompotent法律

X + X = X

X。X = X

统治法律或航班法

X.0 = 0

X + 1 = 1

补充法律

X + X ' = 1

X。x'= 0

交换律

X + y = y + X

X。Y = Y。X

分配法

X.(y + z)= x.y + x.z

(X + z) = (X + y)

结合律

x +(y + z)=(x + y)+ z(或关联)

x。(y.z)=(x。y)z(和关联)

吸收法律

x + x.y = x(或吸收)

x。(x + y)= x(吸收)

冗余法

X + X”。Y = x + Y

x (x ' + y) = x

结合法律

X。Y + x。Y = X

(x + y) (x + y ') = x

联盟法律

(X = X)

共识法律

x.y + x'.z + yz = x.y + x'.z

(x + y).(x ' + z).(y + z) = (x + y).(x ' + z)

布尔表达式 描述 等效开关电路 布尔法
X + 1 = 1 x与闭合=“关闭”并行 废除
X + 0 = X X平行于open = "X" 身份
X。1 = X X的级数闭合= "X" 身份
X。0 = 0 X与open的级数= " open " 废除
X + X = X X与X平行= "X" Idempotent.
X。X = X X与X = X的级数 Idempotent.
不是x’= x 不是x(双负)=“x” 双重否定
X + X’= 1 X与NOT平行X = "CLOSED" 补充
X。x'= 0 x系列与x =“打开” 补充
X + Y = Y + X 与y = y与x并行x 换诗
x.y = Y. x x与y串联串联x 换诗
(x + y)’= x’。Y’ 将OR转换为and de Morgan的定理
(x.y)'= x'+ y' 倒置,用OR替换and de Morgan的定理

布尔逻辑运营

在一般数学中,我们代表了通过使用+, - ,* /。的数学运算符代表代数变量之间的数学运算。同样,在Boolean代数中,我们通过使用逻辑运算符,或者而不是操作来表示布尔操作。

基本布尔算术运算有三种类型。它们是AND运算、OR运算和NOT运算。我们总是用大写字母表示布尔运算。

用小写字母表示操作是错误的。让我们讨论一下布尔算术运算。

补充(函数)

补语的意思是“反向的或相反的或相反的值”。布尔代数支持互补定律。例如,如果变量是1,那么它的补码将是0。

类似地,如果变量是0,那么它的补码将是1。补充变量由变量上的“条”表示。

补码操作也被称为不操作。NOT GATE执行布尔补充操作。

如果x = 1,则x∈= 0

如果x = 0,则x∈= 1

互补的输出x∈可以读为x - bar或x - 而不是。我们还通过“Prime”符号(')表示赞美变量(')。

NOT门的逻辑符号如下所示

不是门

添加(或函数)

OR函数意味着二进制数的布尔加法。它产生两个二进制数的和,例如

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

布尔或操作的解释使用或门和并联开关触点。

对于0 + 0 = 0

布尔值或运算0+0

0 + 1 = 1

布尔或0 + 1

1 + 0 = 1

布尔或0 + 1

1 + 0 = 1

布尔或1 + 0

1 + 1 = 1

1 + 1或操作

在布尔代数中记得的重要事项是添加负数没有直接机制。这意味着布尔代数直接减法不可能。减法只不过是“复合添加”。例如,4 - 2与4 +(-2)相同。

乘法(函数)

并运行是指二进制数的布尔乘法。它产生两个二进制数的产品,例如

0。0 = 0

0。1 = 0

1。0 = 0

1。1 = 1

通过使用AND GATE和串联交换机触点来解释布尔和操作。

为0。0 = 0

和操作0 + 0

为0。1 = 0

和操作2

为1。0 = 0

布尔或1 + 0

为1。1 = 1

和操作4

在布尔代数中有一件很重要的事情要记住,两个数的除法没有直接的机制。除法就是“复合乘法”。

布尔函数的简化

通过使用布尔定理和布尔定律,我们可以简化布尔表达式,我们可以减少要实现的所需数量的逻辑门。我们可以使用两种方法简化布尔函数,

  1. 代数方法 - 使用身份(布尔法律)。
  2. 图形方法 - 使用Karnaugh Map方法

K-map方法比恒等式法更容易简化函数。如果n是变量的个数,那么K- map由2n个单元格组成,相邻的两行列中没有相似的值。

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