布尔逻辑 - SOP形式,POS形式

布尔函数表示

使用晶体管等开关装置的使用产生了一个特殊的布尔代数,称为切换代数。在切换代数中,所有变量都呈现为0和1的两个值之一。

在布尔代数中,0用于表示“打开”状态或“假”状态的逻辑门。类似地,1用于表示“关闭”状态或“真正”逻辑门状态。

布尔表达式是由变量,常量(0-false和1-true)和逻辑运算符组成的表达式,它导致真为或false。

布尔函数是布尔表达式的代数形式。一个n个变量的布尔函数用f(x1, x2, x3....xn)表示。利用布尔定律和定理,可以简化数字电路的布尔函数。下面是表示布尔函数的不同方法的简要说明。

  • 产品总和(SOP)形式
  • Product-of-sums (POS)的形式
  • 规范的形式

有两种类型的规范形式:

  • 总和术语或典型的SOP
  • 最大项乘积或规范POS

布尔函数可以用与非门表示,也可以用K-map (Karnaugh map)方法表示。我们可以通过使用两种标准形式来标准化布尔表达式。

SOP形式 - 产品形式的总和

POS形式 - SUMS表格的产品

布尔方程的标准化将使其实现、演化和简化更容易、更系统。

产品总和(SOP)形式

产品总和(SOP)形式是简化逻辑门的布尔表达的方法(或形式)。在这种SOP形式的布尔函数表示中,变量由并(产品)操作,以形成产品项,所有这些产品术语都是(求和或添加)一起以获取最终功能。

可以通过使用布尔加法操作添加(或求和)两种或更多种产品术语来形成产品形式。这里通过使用和操作来定义产品术语,并且通过使用或操作来定义和术语。

产品形式的形式也称为除虫正常形式,因为产品术语在一起,并且分离操作是逻辑的或。产品形式也称为标准SOP。

SOP形式表示最适合在FPGA中使用它们(现场可编程门阵列)。

例子

AB + ABC + CDE

(ab)̅+ abc + cde̅

可以通过SOP形式获得

  • 为每个输入组合写一个和术语,它产生高输出。
  • 如果值为1,则编写输入变量,如果值为0,则编写变量的补数。
  • 或获取输出功能的术语和术语。

函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC的布尔表达式

真理表:

真理表

现在将输入变量与高输出组合写。f = ab + bc + ac。

检查

通过幂等法律,我们知道

([ABC + ABC)] + ABC)=(ABC + ABC)= ABC

函数F = A ' bc + AB ' c + ABC ' + ABC

= A'BC + AB'C + ABC'+([ABC + ABC)] + ABC)

=(abc + abc')+(abc + ab'c)+(abc + a'bc)

= AB(C + C')+ A(B + B')C +(A + A')BC

= ab + BC + ac。

乘积和(POS)形式

Sums形式的乘积是简化逻辑门的布尔表达式的方法(或形式)。在此POS表单中,所有变量都是ORED,即写为uls以形成和条款。

所有这些总和术语都是(乘以)一起获得总和的形式。该形式与SOP形式完全相反。因此,这也可以被称为“SOP形式的双重形式”。

这里,通过使用和操作来定义和术语,并且通过使用和操作来定义产品项。当两个或多个术语乘以布尔或操作时,所得到的输出表达式将以总和的形式或POS形式的形式。

除了总和术语和结合术语和结合操作是合乎逻辑的,也称为总和形式的形式也称为联合正常形式。总和的形式也称为标准POS。

例子

(a + b) * (a + b + c) * (c + d)

(A + B)̅*(C + D + E̅)

POS表格可以通过

  • 为每个输入组合写一个OR项,产生LOW输出。
  • 如果值为0,则编写输入变量,如果其值为1,则写入变量的补充。
  • 和获取输出功能的术语。

函数F = (A + B + C) (A + B + C ') (A + B ' + C) (A ' + B + C) (A ' + B + C)

前任

现在将输入变量与高输出组合写。f = ab + bc + ac。

检查

通过幂等法律,我们知道

[(A + B + C)(A + B + C)](A + B + C)= [(A + B + C)](A + B + C)=(A + B + C)

现在的函数

f =(a + b)(b + c)(a + c)

= (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C)] (A + B + C) (A + B + C”)(A + B + C) (A + B + C)

= [(A + B + C) (A + B + C ‘)] [(A + B + C) (A’ + B + C)] [(A + B + C) (A + B’ + C)]

= [(A + B) + (C * C ')) ((B + C) + (*)) ((A + C) + (B * B”)

= [(A + B) + 0] [(B + C) + 0] [(A + C) + 0) = (A + B) (B + C) (A + C)

规范形式(标准SOP和POS形式)

表示作为Minterms或Max术语的乘积表示的任何布尔函数都在其“规范形式”中。

它主要涉及两个布尔术语“minterms”和“maxterms”。

当布尔表达式的SOP形式处于规范形式时,其每个产品项称为“Minterm”。因此,产品功能的规范形式的功能也称为“Minterm Canonical形式”或Minterms或标准规范SOP形式。

类似地,当布尔表达式的POS形式处于规范形式时,其总和项中的每一个都称为“maxterm”。因此,总和函数的规范形式的乘积也称为“Maxterm规范形式或总和或标准规范Pos形式”。

最小条目

Minterm被定义为N个变量的产物项,其中N变量中的每一个都将以其补充或不合格的形式出现。最小术语表示为Mi,其中I在0≤i<2ⁿ的范围内。

如果将变量的值赋值为0,则该变量为补充形式;如果将变量的值赋值为1,则该变量为非补充形式。

对于一个2变量(x和y)布尔函数,可能的项是:

X ' y ', X ' y, xy '和xy。

对于3变量(x,y和z)布尔函数,可能的minterms是:

x'y'z',x'y'z,x'yz',x'yz,xy'z',xy'z,xyz'和xyz。

  • 1 - Minterms =函数f = 1的minterms。
  • 0 - minterms =函数f = 0的minterms。

任何布尔函数都可以表示为其1分钟项的和(或)。等式的表示将是

  • F(变量列表)= Σ(1分钟指标列表)

例如:F(x,y,z)=σ(3,5,6,7)

该函数的倒数可以表示为其0-最小术语的总和(或)。等式的表示将是

  • f(变量列表)=σ(0-min术语指标列表)

解:F ' (x, y, z) = Σ (0,1, 2,4)

乘积和表达式的标准形式示例(最小项标准形式):

i)z = xy + xz'

ii) F = XYZ ' + X ' yz ' + X ' yz ' + XY ' z + XYZ

在标准的SOP形式中,n个变量的最大可能乘积项由2ⁿ给出。对于两个变量的方程,乘积项是22 = 4。类似地,对于3个变量的方程,积项是23 = 8。

马克斯条款

最大术语被定义为n变量的乘积,在0≤i<2¾的范围内。最大术语表示为mi.在最大术语中,如果将其值分配给1,则会赞美每个变量,如果将其值分配为0,则每个变量是不协调的。

对于2变量(x和y)布尔函数,可能的最大条款是:

X + y, X + y ', X ' + y和X ' + y '。

对于3变量(x,y和z)布尔函数,可能的maxterms是:

x + y + z, x + y + z’, x + y’ + z, x + y’ + z’, x’ + y + z, x’ + y + z’, x’ + y’ + z and x’ + y’ + z’.

  • 1 -最大项=函数F = 1的最大项。
  • 0 -最大项=函数F = 0的最大项。

任何布尔函数都可以表示其0 - 最大术语的产品(和)。等式的表示将是

  • f(变量列表)=π(0-max项索引的列表)

解:F (x, y, z) = Π (0,1, 2,4)

该功能的倒数可以表示为其1 - 最大术语的产品(和)。等式的表示将是

  • f(变量列表)=π(1-max项索引的列表)

前:F'(x,y,z)=π(3,5,6,7)

和积表达式的标准形式的例子(最大项标准形式):

一世。z =(x + y)(x + y')

2F = (x ' + y ' + z ') (x ' + y + z) (x ' + y ' + z ')

在标准POS形式中,N个变量的最大可能总和术语由2¾给出。因此,对于2个可变方程,总和术语为22 = 4.同样,对于3个可变方程,但总和术语为23 = 8。

2N分钟术语和2N最大条款的表格

下表将让您了解均值的表示和最大条款的3个变量。

2N分钟术语和AMX术语的表格

规范形式的转换

我们可以代表其他规范形式的一个规范形成的等式。我们可以代表POS形式的SOP形式和SOP形式中的POS形式方程。要转换规范方程,我们在列出了从原始方程式中排除的等式的索引号后互换Σ和π符号。

要记住布尔函数的重要事项是,SOP和POS表单是双重的。转换方程的规范形式有2个步骤。他们是

步骤1:在等式中互换操作符号,σ和π。

第二步:使用De Morgan的对偶性原理对布尔函数的索引数,或者对没有以给定的方程形式出现的项写索引。

将SOP表单转换为POS表单

要将SOP表单转换为POS形式,首先要将Σ更改为π,然后写出给定布尔函数的缺失变量的数字索引。

例子:

SOP功能

f =Σa,b,c(0,2,3,5,7)='b'c'+ a b'c'+ a b'c + abc'+ abc被pos形式写入pos形式

第1步:将操作标志更改为π

步骤2:编写术语的缺失索引001,100和110.现在为这些指出的术语编写总和表单。

001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)

以POS形式的形式写下新的等式,

f =πa,b,c(1,4,6)=(a + b + c)*(a + b'+ c')*(a + b'+ c')

将POS表单转换为SOP形式

要将POS格式转换为SOP形式,首先要将π更改为σ,然后写下给定布尔函数的缺失变量的数字索引。

例:POS函数F = Π A, B, C (2,3,5) = AB ' C ' + AB ' C + ABC '写成SOP形式,由

第1步:将操作标志更改为Σ

步骤2:编写术语000、001、100、110和111缺失的索引。现在写出这些标注术语的乘积形式。

000 ='* * b'* c'001 = a'* b'* c 100 = a * b'* c'

110 = a * b * c'111 = a * b * c

将新的方程写成SOP形式,

F = Σ A, B, C (0, 1, 4, 6, 7) = (A’ * B’ * C’) + (A’ * B’ * C) + (A * B’ * C’) + (A * B* C’) + (A * B * C)

将SOP格式转换为标准SOP格式或规范SOP格式

我们可以在SOP形式方程的每个产品项中包含所有变量,这通过转换成标准SOP形式没有所有变量。通过使用布尔代数法(A + A'= 1)和以下步骤,可以将正常的SOP形式功能转换为标准SOP形式。

步骤1:

通过将每个非标准产品术语乘以其缺失变量及其补充的总和,这导致2个产品术语

步骤2:

通过重复步骤1,直到所有结果的产品项都包含所有变量

通过这两个步骤,我们可以将SOP功能转换为标准SOP功能。在此过程中,对于功能中的每个缺失变量,产品术语的数量将增加。

例子:

转换非标准SOP函数F = x y + x z + y z

溶胶:

f = x y + x z + y z

= x y(z + z')+ x(y + y')z +(x + x')y z

= x y z + x y z'+ x y z + x y'z + x y z + x'y z

= x y z + x y z'+ x y'z + x'z

标准SOP形式是f = x y z + x y z'+ x y'z + x'y z

将POS形式转换为标准POS形式或规范POS形式

我们可以在POS形式方程的每个产品项中包含所有变量,通过转换为标准POS形式没有所有变量。可以通过使用布尔代数法(A * a'= 0)并通过以下步骤将正常的POS形式函数转换为标准POS形式。

步骤1:

通过向其缺失变量及其补充的乘积添加每个非标准的术语,这会导致2和条款

步骤2:

应用布尔代数法,A + BC =(A + B)*(A + C)

第3步:

通过重复步骤1,直到所有生成的和术语都包含所有变量

通过这三个步骤,我们可以将POS函数转换为标准POS函数。

例子:

f =(a'+ b + c)*(b'+ c + d')*(a + b'+ c'+ d)

在第一项中,缺少变量D或D ',所以我们加上D*D ' = 1。然后

(a'+ b + c + d * d')=(a'+ b + c + d)*(a'+ b + c + d')

同样,在第二个术语中,丢失变量A或'',因此我们将* a'= 1添加到它。然后

(B'+ C + D'+ A * A')=(A + B'+ C + D')*(A'+ B'+ C + D')

第三项已经是标准形式了,因为它有所有的变量。函数的标准POS形式方程是

F = (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (A + B + C + D) * (' + B + C + D ') * (A + B + D ' + C”)

14的反应

    1. SOP和POS之间的差异是SOP是使用MIN术语或产品项表示布尔表达式的方式,而POS是使用MAX术语或SUM项表示布尔表达式的方式。

  1. 在SOP中,我们取(1)为非补数,取(0)为补数,SOP的满形式为乘积的和,用(m) min (A ' .B.C ')表示。

    在pos中,我们取(0)作为非补语,取(1)作为补语和完整形式的
    Pos是sum的乘积,用(m) maxterm (a ' + b ' + c)表示

  2. 采取SOP形式的补充或酒吧,然后应用布尔逻辑和De-Morgan的定理。

    (ab + bc)'= [(ab)'*(bc)']
    = [(a'+ b')*(b'+ c')]
    (SOP)'= POS
    与类似的SOP =(POS)'一样
    它也可以通过真理表证明。
    a b ab(a'+ b')'
    0 0 0 0
    0 1 0 0
    1 0 0 0
    1 1 1 1

  3. 它的错误
    例子:
    SOP功能

    f =Σa,b,c(0,2,3,5,7)='b'c'+ a b'c'+ a b'c + abc'+ abc被pos形式写入pos形式

    第1步:将操作标志更改为π

    步骤2:编写术语的缺失索引001,100和110.现在为这些指出的术语编写总和表单。

    001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)

    以POS形式的形式写下新的等式,

    f =πa,b,c(1,4,6)=(a + b + c)*(a + b'+ c')*(a + b'+ c')

  4. SOP功能

    F = ∑ A, B, C (0, 2, 3, 5, 7) = A’ B’ C’ + A’ B C’ + A’ B C + AB’C + ABC is written in POS form by corrected by gautam rai

    第1步:将操作标志更改为π

    步骤2:编写术语的缺失索引001,100和110.现在为这些指出的术语编写总和表单。

    001 = 100 = (A + B + C) (A + B + C) 110 = (A + B + C)

    以POS形式的形式写下新的等式,

    f =πa,b,c(1,4,6)=(a + b + c')*(a'+ b'+ c)*(a'+ b'+ c)*(a'+ b + c)由gautam校正

发表评论

您的电子邮件地址将不会被公布。必需的地方已做标记*