巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器是一种有源滤波器,其通过频带的频率响应是相对平坦的。因为这个频率响应,巴特沃斯滤波器也被称为最大平坦滤波器或平坦滤波器。

使用巴特沃斯滤波技术,你可以设计所有类型的滤波器,如高通,低通,带通等。在本教程中,我们将集中讨论使用巴特沃斯滤波器技术设计低通滤波器。

关于典型低通滤波器的更多信息,无论是主动的还是被动的,阅读这些教程:欧宝平台正规吗无源低通RC滤波器”和“有源低通滤波器".

介绍

在设计滤波器电路时主要有三个考虑因素

  • 通带的响应必须是最大平坦度。
  • 从通带到阻止带必须有一个缓慢的过渡。
  • 滤波器使信号在通带内不失真的能力。

这些畸变通常是由波形的相移引起的。除了这三个外,上升和下降时间参数也起着重要的作用。通过考虑这些因素,设计了一种滤波器。

为了获得最大的平坦响应,设计了巴特沃斯滤波器。针对从通带到阻带的缓慢过渡设计了切比雪夫滤波器,针对最大平坦时延设计了贝塞尔滤波器。

巴特沃斯滤波器

以牺牲从通带到阻止带过渡介质的陡度为代价,这种巴特沃斯滤波器将在输出信号中提供一个平坦的响应。因此,它也被称为最大平坦幅度滤波器。

滤波器的衰减响应率是由电路中使用的极点数决定的。极数将取决于电路中无功元件的数量,即电路中使用的电感或电容的数量。

n阶Butterworth滤波器的幅值响应如下:

V/ V= 1 /√{1 + (f / fc)2 n}

其中n为电路的磁极数。随着“n”值的增加,滤波器响应的平坦度也会增加。

' f ' =电路的工作频率和' fc' =电路的中心频率或截止频率。

这些滤波器有预先确定的考虑,其应用主要是在较高频率的有源RC电路。尽管它不提供尖锐的截止响应,但它通常被认为是在许多应用中使用的全方位滤波器。

巴特沃斯近似

如我们所知,为了满足滤波器响应的考虑,并使近似接近理想滤波器,我们需要有高阶滤波器。这将增加复杂性。

我们还知道低通和高通电路的输出频率响应和相位响应。理想的滤波器特性是最大平坦度,最大通带增益和最大阻带衰减。

设计滤波器需要适当的传递函数。为了满足这些传递函数的要求,在模拟滤波器设计中采用了许多近似函数。

在这种设计中,巴特沃斯滤波器是一种滤波器类型。低通巴特沃斯设计主要考虑了很多功能。稍后我们将讨论归一化低通巴特沃斯滤波器多项式。

一阶低通巴特沃思滤波器

下面的电路显示低通巴特沃斯滤波器。

图:一阶低通巴特沃思滤波器

所需的巴特沃斯滤波器的通带增益主要取决于电阻的值R1和Rf,滤波器的截止频率取决于上述电路中的R和C元件。

滤波器的增益为A_max=1+R1/Rf

电容“C”的阻抗由-jX给出C通过电容的电压是,

Vc= - jXC/ (R - jX .C) *文。

式中,XC = 1 / (2πfc),电容电抗。

滤波器的极坐标传递函数为

H(jω) = |Vout/Vin|∟ø

滤波器V的增益在哪里/ V=一个马克斯/√{1 + (f/fH)²}

相位角Ø = - tan1(f / fH)

在较低的频率是指当工作频率低于截止频率时,通带增益等于最大增益。

V/ V=一个马克斯即常数。

在较高的频率是指当工作频率高于截止频率时,则增益小于最大增益。

V/ V<一个马克斯

当工作频率等于截止频率时,传递函数等于Amax /√2。增益的衰减速率为20dB/decade或6dB/octave,可以用响应斜率-20dB/decade表示。

二阶低通巴特沃思滤波器

一个附加的RC网络连接到一阶巴特沃斯滤波器给我们一个二阶低通滤波器。这种二阶低通滤波器的优点是在截止频率后,在阻止频带内增益衰减很快。

图:二阶低通巴特沃思滤波器

在这个二阶滤波器中,截止频率的值取决于两个RC截面的电阻和电容的值。截止频率按下式计算。

fc= 1 / (2π√r2C2)

增益以40dB/decade的速率滚转,该响应的斜率为-40dB/decade。滤波器的传递函数为

V/ V=一个马克斯/√{1 + (f/fc)4}

给出了二阶滤波器传递函数的标准形式

V/ V=一个马克斯/秒2+ 2εωns +ωn2

在ωn=振荡的固有频率= 1/R2C2

阻尼系数= (3 - A马克斯) / 2

对于二阶巴特沃斯滤波器,所需的中项是根号(2)= 1.414,从归一化巴特沃斯多项式为

3 -马克斯=√2 = 1.414

为了保证输出滤波器的响应,必须将增益A马克斯是1.586。

通过级联一阶和二阶巴特沃斯滤波器得到高阶巴特沃斯滤波器。这可以说明如下:

图:高阶巴特沃斯滤波器一个n和bn是预先确定的滤波器系数,这些系数用于生成所需的传递函数。

巴特沃斯滤波器的理想频率响应

输出响应的平坦度随着滤波器阶数的增加而增加。不同阶次的巴特沃思滤波器的增益和归一化响应如下所示。

图:巴特沃思滤波器的理想频率响应

归一化低通巴特沃思滤波器多项式

归一化是将电压、电流或阻抗除以同一测量单位的量的过程。这一过程被用来制作一个无量纲的范围或特定值的水平。

滤波器传递函数的分母多项式给出巴特沃斯多项式。如果我们考虑半径相等且圆心为原点的圆上的s平面,那么巴特沃斯滤波器的所有极点都位于s平面的左半部分。

对于任意阶滤波器,s的最高次幂的系数总是1,对于任意阶滤波器,常数项总是1。对于偶数阶滤波器,所有的多项式因子本质上都是二次的。对于奇阶滤波器,所有的多项式都是二次的,除了一阶,一阶滤波器的多项式是1+s。

系数形式的巴特沃斯多项式如下表所示。

n阶Butterworth滤波器的传递函数如下所示

H(jω) = 1/√{1 + ε²(ω/ωc)2 n}

其中n是滤波器的阶数

ω是弧度频率,它等于2πf

ε是最大通带增益,即Amax

巴特沃斯低通滤波器示例

我们考虑截止频率为15.9 kHz,通带增益为1.5,电容C = 0.001µF的巴特沃斯低通滤波器。

fc= 1/2πRC

15.9 * 10³= 1 / {2πr1 * 0.001 * 106}

R = 10 kΩ

一个马克斯= 1.5,设R1为10 kΩ

一个马克斯= 1 + {rf/ R1}

Rf= 5 kΩ

图:Butterworth低通滤波器示例

三阶巴特沃思低通滤波器

通过一阶和二阶巴特沃思滤波器的串级连接,得到三阶巴特沃思滤波器。三阶巴特沃思滤波电路如下图所示。

图:三阶巴特沃思低通滤波器

对于三阶低通滤波器,由给定的归一化低通巴特沃斯多项式得到的多项式为(1+s) (1+s+s²)。该滤波器包含三个未知系数,它们是a0一个1一个2

这些的系数值是a0= 1,1= 2和a2= 2。与一阶滤波器相比,三阶巴特沃斯滤波器的曲线平整度增加。

应用程序

  • 由于其最大平坦通带性质,它被用作数据转换器应用中的抗混叠滤波器。
  • 它在雷达中有广泛的应用,如设计雷达目标航迹显示。
  • 在高质量的音频应用中使用这些。
  • 这些是用于运动分析的数字滤波器。

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