复数

在数学上,复杂的数字是实数和虚数的组合。相量由复数平面中的复数表示。

这个复数表示给出了正弦波的幅值和相位,用它我们可以分析电路的特性。正弦波形是时间的函数,用时域表示。

对于将时间t的函数转换为弧度频率w的函数的波形方程组,通常采用相量变换法求解。

与作为部分微分方程的时域方程相比,频域方程是代数方程,其更容易解决,其比较域等式更容易解决。

因此,复数表示便于易于解决未知相量的代数方程。让我们讨论复杂的数字及其操纵技术。

复数

虚数是负实数的平方根。虚数由虚数单位或j运算符组成,j运算符是√-1的符号。这个j算子用于简化虚数。将√- 4简化为√-1 ×√4 = j√4 = j2。

复杂数字的操纵比实数更复杂,这就是为什么这些被命名为复数。复杂的数字由两部分组成,即由加号或减号连接的实体部分和虚部,如下所示。

例子:

复数形式

复杂数的虚部被称为“虚数”。我们表示,通过英文字母'i'(小写)或j。我们称之为“i-operator”。将I算子放在假想号之前,以表示虚构部分。例如:i3,i432,i6等

复数在2维笛卡尔平面中表示。这也被称为“S平面”。轴称为“横轴”和“垂直轴”。垂直轴也称为“真实轴”,它由Y表示。它表示正弦波的大小范围或电压。

同样,横轴称为“虚轴”。用x表示,表示正弦波的时间周期和相位差。用图解法将复数的实轴和虚轴分别表示为Re(Z)和Im(Z),其中Z为矩形形式的复数,Z = a + ib。

复数的实部也称为“有源部”,虚部称为“活性部”。

复杂数学的数学运作规则

  • 添加和减法:另外的虚数的减法操作,我们使用一般的数学规则作为实数,即在添加或减去两个假想的数字时,我们得到另一个虚数。前:I9 + I5 = I14。
  • 对于乘法:虚数的乘法遵循不同的规则。也就是说,如果任意两个虚数相乘,就得到一个实数。例:i2 * i3 = 6。

注意:我们还可以通过将虚构部分的系数为“0”来将实数写为复数。

例如:6可以用复杂的数字写入6 + I0。

矢量旋转i-算​​子

一般来说,电压和电流及其相位关系用电矢量表示,矢量的长度表示所涉及的量的大小,而相对于参考轴的方向表示电压和电流正最大值之间的时间间隔。

为了用x和y分量来指定这些向量,使用i算子来区分x轴投影和y轴投影。

这是因为Y轴投影是+900.从x轴投影。这个i算子旋转矢量而不改变其大小。因此,当将+i算子作为一个向量的乘因子时,得到900.逆时针旋转和-i运算符产生900.顺时针旋转其作为乘以因子的任何向量。

Phasor旋转

+ I运算符到向量的连续乘法将产生连续900.在不影响矢量大小的情况下,逆时针方向旋转矢量的步骤。

类似地,连续乘以-i算子到一个向量会得到连续的900.如下所述的顺时针方向旋转向量的步骤。

I1 =√-1 = +i *旋转向量900.(逆时针)

i2 = i * i =(√-1)2 = -1»旋转向量1800.(逆时针)

I3 = I2 * i =(√-1)3 = -i»旋转向量2700.(逆时针)

i4 = i3 * i =(√-1)4 = +1»旋转向量3600.(逆时针)

类似地,对于顺时针旋转表示为

-i1 =-∞-1 = -i»旋转向量-900.(顺时针)

-i2 = -1»旋转向量-1800.(顺时针)

- (i)3 =√-1»旋转矢量-2700.(顺时针)

- (i) 4 = 1,旋转矢量-3600.(顺时针)

复杂数字表示

主要是,复杂的数字由两种方法表示,它们是

  1. 笛卡尔或矩形形式
  2. 使用S飞机

使用矩形形式的复数

如前所述,复数号以矩形形式表示为z = a + ib。

其中,z是复数

A是这个向量的实部

B是矢量的虚构部分

我是虚构部分的系数。它的价值是√-1。

例如:如果z = 2 + i3则'2'表示实数,并且'3'表示虚部。

使用复杂或S平面的复数

在S平面表示方法中,复数表示为笛卡尔平面或S-平面的点。例如,考虑z = 2 + 4i,其中2是实部,4是虚构的部分。它在S平面中表示,如下所示。

平面中的复数

这里,复数(2)的真实部分由从正水平轴上的原点绘制的线绘制2个单位表示。虚部(4i)由延伸4个单元从正垂直轴上的原点表示。

因此,始终假设虚拟值沿y轴或垂直轴绘制,并且沿X轴或水平轴绘制的实值。

四个象限argand图

如果实际数字乘以-1,则会导致从原点的一侧移动到其他方面的点。假设如果+2乘以-1或j2,则新位置相当于180的旋转0.从旧位置。

将j乘作矢量旋转的概念是在交流电路中使用复数的基础。这个概念产生了一个称为阿根图的图,它表示复数。

在Argand图中,复数的实数在X轴上表示,即Re(z)。复数号的虚部表示在y轴上。im(z)表示。在笛卡尔平面中,复数号被定义为(a,b)。

在阿根图中,横轴表示纵虚轴右侧的所有正实数和纵虚轴左侧的所有负实数。在纵轴上,原点上方表示正虚数,原点下方表示负虚数。

同样,所有正实数在原点的右侧表示,所有负实数在原点的左侧表示,在横轴上。这样就形成了一个有4个坐标的复平面。

Argand图用于表示相量旋转,其中向量的长度等于复数的大小。它为每个2π/Ω秒完成完整循环。

0.0.=±360.0.∠1 = 10.= 1 + I0

+ 900.= +√-1 = + i =1¼+ 900.= 0 + i1

- 900.I = 1,∠-900.= 0 - i1

±1800.2 = -1 = 1,∠±1800.= - 1 + I0

具有零真实部件的复数被称为“纯虚数”。例如:z = 0 + I2。

具有零虚构部分的复数被称为“纯实数”。例如:z = 2 + i0。

角度和象限

0.0.到90.0.→第一个象限(i)。

90.0.到180.0.→第二象限(II)。

1800.到270.0.→第三象限(III)。

270.0.到360.0.第四象限(IV)。

我们可以通过使用找到复数的相关相位角

TAN-1(虚部分量÷真实组件)

下面给出了所有4个象限中的复数的argand草图。

象限
argand图素描
信息
公式
1 A是积极的
B是积极的
参数是积极的
Ø=晒黑-1(b / a)
2 a是消极的
B是积极的
参数是积极的
Ø=π+棕褐色-1(b / a)
3. a是消极的
B是消极的
论点是消极的
Ø=-π+棕褐色-1(b / a)
4. A是积极的
B是积极的
论点是消极的
Ø=晒黑-1(b / a)

复数的加减运算

如果需要执行数学操作,如复杂数字的添加或减法,首先我们必须将复数号分成真实的部分和虚部。

为了添加两个复数,添加真实部件并添加虚部。

如果第一个复数是p = a + ib,第二个复数号是q = x + iy,则给出两个复数的总和

p + q =(a + x)+ i(b + y)

p + q =(a-x)+ i(b - y)

类似地,要减去两个复杂的数字,我们减去了实际部分并减去了虚部。
给出了两个复数的差异

p + q =(a-x)+ i(b - y)

例子

找到给定的两个复数号的总和和差异。a = 2 + i4和b = 4 + i3。

添加

P + Q = (2 + i4) + (4 + i3)

=(2 + 4)+ i(4 + 3)

= 6 + i7

减法

P + Q = (2 + i4) - (4 + i3)

=(2 - 4)+ i(4 - 3)

= -2 + i1

图形添加和减法

添加复数的方法与使用载体平行四边形的两个向量的添加方法。下图说明了使用图形方法的3 + 4i和-4 + 2I复数的添加方法。

图形添加两个复数

图形方法中的(3 + 4i)的减法(3 + 4i)在图中示出了下面的图。

两个复数的图形减法

复数的乘法和除法

复数乘以二项式乘法并记住j2 = -1的方式相同的方式。
考虑两个复数(A + BI)和(C + DI),然后给出其乘法

(a + bi)x(c + di)= a(c + di)+ bi(c + di)

= AC + ADI + BCI + BD I2

= AC + ADI + BCI + BD(-1)

= AC + ADI + BCI - BD

=(ac-bd)+(广告i + bc i)

=(ac -bd)+(ad + bc)i

假设如果两个复数(2 + 3i)和(4 + 5i),则其乘法是

(2 + 3i)x(4 + 5i)= 2(4 + 5i)+ 3i(4 + 5i)

= 8 + 10i + 12i + 15i2

= 8 + 22i + 15(-1)

= 8 + 22i -15

= -7 + 22 i

部门

以相同的方式划分复数,其中批量在分母中划分包含自由基的方式。它涉及找到分母的共轭。

让我们看一下复杂数字的榜样。

例子

(4 + 2i)÷(3 - i)

((4 + 2I))/((3 - I))=((4 + 2i))/((3 - I))×((3+ i))/((3+ i))

=(12 + 4i + 6i + 2i2)/(9 + 3i-3i-i2

=(12 + 10i + 2(-1))/(9 - ( - 1))

= (10 + 10) / 10

=(1 + i)/ 1

= 1 + i

因此,(4 + 2i)÷(3 - i)= 1 + i。

复杂共轭

复杂数的复杂缀合物是相同的数字,除了虚构部分的符号改变。通过反转虚数量的标志获得的复数。

找到共轭时,实体部分的标志变得不变。共轭复数号由符号Z *表示。

例如,Z = 4 + I5的复杂缀合物是Z * = 4 - I5

复数和它的共轭有相同的大小它们在X轴上有相同的水平位置,但是它们在阿根图上的垂直位置完全相反。

复杂共轭表示

要记住的事情

  • 复数及其共轭的和总是实数(有效分量)。
    (4 + i5)+(4 - I5)= 8(实数)
  • 复数和其缀合物的减法始终是假想数(反应性分量)。
    (4 + i5) - (4 - I5)= 10i(虚数数)
  • 通常用共轭复数来求矩形形式的交流电路的视在功率。

使用极性形式的复数

复数可以以极性和矩形形式表示。如上所述,复杂数量的矩形形式由实部和虚部组成。在极性形式的情况下,复数数用幅度和角度表示。z

a¼±θ。这里A是载体的大小,并且θ是相位角。它可能是积极的或消极的。
北极表格表示复数

以极性形式表示复杂数字使用三角形和毕达哥拉斯定理的基本三角概念来找到用轴制造的幅度和角度。

极坐标形式表示

笛卡尔平面中复杂数x + IY的极性形式表示在上图中示出。这里R是由复数的三角形的所得到的矢量或对角线。

通过应用Pythagoras的定理,我们得到了

Z.2= x2 + y2

z =√(x2 + y2)

矢量分量可以写为,x = z cosθ和y = zsinθ。

用真实轴制造的角度给出

θ= tan.-1y⁄x

极坐标表示复数的长度和角度。复数和它的共轭有相同的模,它们有相反的角。

前:复数5∠600.其共轭数为5,∠-600.具有相同的幅度。

复数的转换

在分析电子电路时,需要将复数从一种形式转换为另一种形式。以矩形形式,我们分别代表实际轴(水平轴)和虚轴(垂直轴)上复数的实数和虚部。

但是在极性形式中,复数表示为∠θ。现在让我们了解极地形式和矩形形式的关系和转换,反之亦然。

极性形式的转换为矩形形式(P→R)

偏斜矩形形式的转换涉及找到三角性水平和垂直分量,以便获得X + IY(矩形形式)的真实和虚部。

考虑以下示例以转换复数4∠30的极性形式0.以矩形形式。
向量组件等于复数x + IY的实数和虚部。所以,

x = cosθ和y =sinθ

让4∠300.= X + IY

4∠300.=(4cosθ)+ i(4sinθ)

=(4 cos 300.)+我(4 SIN 300.

=(4 x 0.866)+ i(4 x 0.5)

= 3.464 + I2

因此,极性形式的复数4∠300.等于z = 3.464 + i2。

矩形形式转化为极性形式,(R→P)

直角型到极坐标型的转换是利用直角三角形的勾股定理,直角三角形是由横轴和纵轴的复数x + iy在坐标平面上构成的。

考虑该示例以将矩形形式的复数3.464 + I2转换为极性形式的等效数字。

让(3.464 + i2)= a∠θ

这里A =√(3.462+22) = 3.99(约4)

和θ=棕褐色(-1)2/3.46 = 30.0.

因此,矩形形式Z = 3.464 + I2中的复数等于4±300.在极性形式。

极性形式乘法

执行添加和减法的最简单方法是矩形形式,而极性形式是执行复数和分割的乘法和分割的最简单方法。

要做极坐标形式的复数乘法,首先要把它们的模相乘,然后把它们的角相加。

如果Z1和Z2是(极性形式)的两个复数,则为Z1 = A1≠θ1和Z2 =A2∠θ2。然后将这两个数字的乘法是

z1 x z2 =(a1 x a2)∠θ1+∠θ2

例如:假设两个复杂数字2∠600.和5∠450.,然后给予其乘法

z1 = 2∠600.Z2 = 5∠450.

z1 x z2 =(a1 x a2)∠θ1+∠θ2

=(2 x 5)∠600.+ 450.

= 10∠1050.

极性形式部门

为了执行极数的划分操作,首先划分两次点的大小,然后减去角度。

(Z1)/ Z2 =(A1 / A2)∠θ1 - ∠θ2

设两个复数为2的∠600.和4∠300.那么它的除法是

z1 = 2∠600.z2 = 4∠300.

(Z1)/ Z2 =(A1 / A2)∠θ1 - ∠θ2

=(2/4)∠600.- ♥300.

=0.5¼300.

使用指数形式的复数

除了矩形形式(A + IB)或极性形式(A±±θ)表示复数,还有另一种方式来表示是指数形式的复数。

这类似于极性形式表示,涉及通过其幅度和相位角表示复数,但是具有指数函数e的基础,其中e = 2.718 281.复杂数的指数形式使用欧拉公式,例如Iθ.=COSθ+ JSINθ。

以指数形式的复数号的一般代表表示为

z = a e0.Iθ.

其中θ是弧度

该方法表示作为笛卡尔平面中的旋转点的复数。这种指数形式使用复杂数x + IY的三角函数或矢量分量(正弦和余弦)。根据Euler身份的笛卡尔平面中的旋转相位图如下所示。

通过欧拉恒等式得到相量图

我们可以代表欧拉方法的任何复杂数字。Euler的身份允许我们将复数从指数形式转换为极性形式和矩形形式。

下面给出极性,矩形和指数形式之间的关系。

z = x + iy =a∠θ= a(cosθ+isinθ)

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