星三角转换

正如我们在前面的文章中所看到的,为了简化电路,我们使用了电阻的串联和并联组合来降低电路的复杂性。此外,我们经常使用源变换的方法来分析电路。但是这些技术并不适用于所有类型的网络。

许多电路由三个终端网络组成,如Wye (Y)或星形或tee (T)和delta或pi网络。这些网络要么是一个大网络的一部分,要么是自己形成的。这些网络的应用领域包括三相网络、匹配网络和电气滤波器等。这些网络用另一种有用的技术——星-delta变换来简化。

Star和Delta网络

在星形连接中,组件以这样一种方式连接,即所有电阻或组件的一端连接到一个公共点。通过三个电阻的排列,这个星形网络看起来像字母Y,因此,这个网络也被称为Wye或Y网络。这个星形连接的等效可以重新绘制为T网(作为一个四端网络),如下图所示。大部分电路构成了这个T形网络。

网络明星

在三角形连接中,每个组件或线圈的终点连接到另一个组件或线圈的起点。它是由三个组件串联而成的三角形。名称表明连接看起来像一个字母delta (Δ)。等效增量网络可以重新绘制,使其看起来像一个符号Pi(或四端网络),如图所示。所以这个网络也可以称为π网络。

达美航空网络

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Delta到恒星的转换

当相似的端子对具有相同的阻抗时,可以实现星-星或星的转换。这个变换通过消除节点产生一个等价的网络。

让我们讨论一下到星的转换。考虑Rab、Rbc、Rca是三角洲网络中的三个串联电阻,Ra、Rb、Rc是星型网络中的三个电阻。

到恒星的变换

这种变换后产生的等效星形网与三角网在相似端子对之间测量时,电阻相同。

考虑上图,其中a和c端子之间的等效电阻为

Ra+ Rc = Rca ||(Rab + Rbc)

Ra + Rc = Rca * (Rab + Rbc) / (Rab +红细胞+ Rca ) ........................( 1)

端子c和端子b之间的等效电阻为

Rb+ Rc= Rbc | (Rb+ Rca)

Rb + Rc = Rbc * (Rab + Rca) / (Rab +红细胞+ Rca ) .........................( 2)

在b和a之间

Rb+ Ra = Rab ||(Rca + Rbc)

Rb + Ra = Rab * (Rca + Rbc) / (Rab +红细胞+ Rca ) ..........................( 3)

把上面的1 2 3个方程结合起来,我们得到

Ra + Rb + Rc = (RabRbc + RbcRca + RcaRab) / (Rab +红细胞+ Rca ) ...............( 4)

方程4减去方程2,我们得到

Ra = (Rab Rca)/(Rab + Rbc + Rca)

方程4减去方程1,我们得到

Rb = (Rab Rbc)/(Rab + Rbc + Rca)

方程4减去方程3就得到

Rc = (Rbc Rca)/(Rab + Rbc + Rca)

Ra、Rb、Rc是由delta等效电路转换成星型网络的三个电阻值。

Ra = (Rab Rca)/(Rab + Rbc + Rca)

Rb = (Rab Rbc)/(Rab + Rbc + Rca)

Rc = (Rbc Rca)/(Rab + Rbc + Rca)

通过观察上述三个方程,我们可以说,对于一个给定的终端,星形网络中的等效电阻等于连接到同一终端的两个电阻(在delta中)的乘积除以delta网络中的总电阻之和。

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例子:

考虑下图将delta转换为星形或Wye电路,其中Ra = 20欧姆,R2 = 30欧姆,R3 = 50欧姆。

Delta到星型的例子

对于delta到星型转换的等效阻力方程(对于这个问题)为

Ra = (R1 R2)/(R1 + R2 + R3)

Rb = (R1 + R2 + R3)/(R1 + R2 + R3)

Rc = (R1 + R2 + R3)/(R1 + R2 + R3)

因此总电阻Rt = (R1 + R2 + R3)

= 20 + 30 + 50

= 100欧姆

Ra = (R1 R2)/(R1 + R2 + R3)

= (20 x 30) /100

= 6欧姆

同样,Rb = (R2 R3)/(R1 + R2 + R3)

= (30 x 50) /100

= 15欧姆

and Rc = (R1 + R2 + R3)/(R1 + R2 + R3)

= (50 x 20)/ 100

= 10欧姆

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星到Delta变换

使用与Ra、Rb和RC相同的恒星电阻表示,与Rab、Rbc和Rca相同的delta电阻表示。考虑如下所示的星形电阻网络,其中通过Ra电阻的电流为

明星δ

Ia = (Va - Vn) / Ra ...........(1)

在星型网络的节点N处应用KCL,得到

(Va - Vn) /Ra + (Vb - Vn) /Rb + (Vc - Vn) /Rc

Vn [(1 / Ra) + (1 / Rb) + (1 / Rc)] = (Va / Ra) + (Vb / Rb) + (Vc / Rc)

Vn = [(Va / Ra) + (Vb / Rb) + (Vc / Rc)] / [(1 / Ra) + (1 / Rb) + (1 / Rc )] ......( 2)

在网络中,A点的电流为

Ia = (Vab /Rab) + (Vac / Rac) ......(3)

从方程1和3我们得到

(Va - Vn) / Ra =(还有Vab / Rab) +(休假/ Rac ) ..........................( 4)

将方程2的Vn值代入方程4,化简得到

Rab = Ra + Rb + ((RaRb)/Rc)

Rac = Ra + Rc + ((RaRc)/Rb)

同理,星型网络中的Ib为

b = (Vb - Vn) / Rb ...........(5)

在三角洲地区网络

Ib = (Vbc / Rbc) + (Vba /澳大利亚央行 ) .....................( 6)

通过将5和6方程等价

(Vb - Vn) / Rb = (Vbc / Rbc) + (Vba /澳大利亚央行 ) ....................( 7)

将方程2代入方程7,化简后得到

Rbc = Rb + Rc + ((RbRc)/Ra)

因此,将delta网络转换为等效星形网络或wye网络所需的方程为

Rab = Ra + Rb + ((RaRb)/Rc) = (RaRb + RbRc + RbRc)/Rc

Rbc = Rb + Rc + ((RbRc)/Ra) = (RaRb + RbRc + RbRc)/Ra

Rac = Ra + Rc + ((RaRc)/Rb) = (RaRb + RbRc + RbRc)/Rb

通过观察上述三个方程,我们可以得出,在给定的两个端子之间,等效△电阻等于连接这两个端子的两个电阻(在星形中)的和加上同样的两个电阻的乘积除以剩余的或第三个星形电阻。

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例子:

考虑下图将星形或Wye变换为三角电路,其中星形网络中的电阻值为R1= 10欧姆,R2= 5欧姆,R3 = 20欧姆。

星型到delta变换的例子

对于星形或星形到delta的转换,等效阻力方程(对于这个问题)为

R12 = r1 + r2 + ((r1r2)/ r3)

R23 = r2 + r3 + ((r2r3)/ r1)

R31 = r1 + r3 + (r1r3)/ r2

通过简化上述方程,我们得到公分子项为

R1r2 + r2r3 + r1r3

= 10 x 5 + 10 x 20 + 20 x 5

= 350欧姆

那么R12 = 350/ R3

= 350/20

= 17.5欧姆

R23 = 350/ r1

= 350/10

= 35欧姆

R31 = 350 / R2

= 350/5

= 70欧姆

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